2019年高中数学苏教版必修一课件:3.4.1 函数与方程(零点)

发布于:2021-12-08 02:09:11

3.4 函数的应用 3.4.1 函数与方程 第 1 课时 函数的零点 [情景导入] 已知二次函数 y=x2-2x-3,令 y=0 即 x2-2x-3=0 时,这是一元二次方程,那么这个一元 二次方程的根与前面二次函数的图象与 x 轴的交点有什 么关系? [学*目标] 1.能利用二次函数的图象与判别式的符 号,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,了解函数 的零点与方程根的联系.2.掌握零点存在的判定定理, 会求 简单函数的零点 .3.体验并理解函数与方程的相互转化的 数学思想方法. 1.函数零点的概念. 把使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y=f(x) 的零点. ? 1 ? ?- ,0? 2 ?, 例如: y=2x+1 的函数图象与 x 轴的交点为? _______ 1 - 2 . 有一个零点是______ 二次函数 y=x2-x-2 函数图象与 x 轴的交点为(- 1,0),(2,0) ,有两个零点是-1 与 2. 2.函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根, 从图象上看,函数 y=f(x)的零点,就是函数 y=f(x)的图 象与 x 轴交点的横坐标. 3.方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 一、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间 的关系 结合二次函数的图象及零点的定义可知,二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0) 的零点就是相应方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)的根, 也是相应不等式 ax2+bx+c≥0(a≠0)或 ax2 +bx+c≤0(a≠0)的解集的端点. 二、零点的存在性的判断 (1)判断方程在某区间内是否有解,主要依据有两点: 一是该方程相应的函数在区间内是否连续;二是在区间 端点处函数值是否异号.即连续函数在区间端点处函数 值异号,则相应方程在区间内一定有解,如若同号,则 无法确定是否有解. (2)若 f(x)满足零点存在定理, 只能说明 f(x)在(a,b) 上至少有一个零点,不能具体判断零点的个数. (3)零点存在定理反过来不成立,即若 f(x)在(a,b)上 有零点,不一定有 f(a)f(b)<0.如 f(x)=x2-1 在(-2,2)上 有零点,1 和-1,但 f(-2)f(2)=9>0. 题型一 求函数的零点 [例 1] 求下列函数的零点: (1)f(x)=-x2-2x+3; (2)f(x)=1-log2(x+3). 分析:根据函数零点与相应方程的根之间的关系,就 是求该函数相对应的方程的根. 解:(1)由于 f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1), 所以方程-x2-2x+3=0 的两根是-3,1. 故函数的零点是-3,1. (2)由 f(x)=0 得 log2(x+3)=1. 所以 x=-1,故函数 f(x)=1-log2(x+3)的零点为-1. 规律方法 根据函数零点的定义, 求函数 f(x)的零点就是求使 f(x) =0 的 x 值,即方程 f(x)=0 的根.一般求法有两种: 1.代数法:解方程的思想.如求一元二次方程 f(x) =0 的实数根常用求根公式、分解因式等方法. 2.几何法:根据函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横 坐标求函数的零点. [即时演练] 1.观察下列四个函数图象,指出在区间 (-∞,0)内,方程 fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解,请 说明理由. 解: 因为 y=f1(x)与 y=f2(x)的图象与 x 轴的负半轴有 交点,所以 f1(x)=0 和 f2(x)=0 在区间(-∞,0)内有解. 题型二 函数零点的个数与所在区间的判定 [例 2] (1)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区 间是( ) B.(-1,0) D.(1,2) A.(-2,-1) C.(0,1) (2)判断函数 f(x)=ln x+x2-3 的零点的个数. (1)解析:因为 f(0)=e0+0-2=-1<0, f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以 f(0)· f(1)<0. 所以 f(x)在(0,1)内有零点. 答案:C (2)解:法一:函数对应的方程为 ln x+x2-3=0, 所以原函数零点的个数即为函数 y=ln x 与 y=3-x2 的图象交点个数. 在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图所示). 由图象知,函数 y=3-x2 与 y=ln x 的图象只有一个 交点.从而 ln x+x2-3=0 有一个根,即函数 y=ln x+ x2-3 有一个零点. 法二:由于 f(1)=ln 1+12-3=-2<0, f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0, 所以 f(1)· f(2)<0. 又 f(x)=ln x+x2-3 的图象在(1,2)上是不间断的, 所以 f(x)在(1,2)上必有零点, 又 f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个. 规律方法 1.(1)判断零点所在区间有两种方法: 一是利用零点存在定理,二是利用函数图象. (2)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所 在区间的判断中的应用,若 f(x)图象在[a,b]上连续,且 f(a)· f(b)<0,则 f(x)在(a,b)上必有零点;若 f(a)·f(b)>0, 则 f(x)在(a,b)上不一定没有零点. 2.判定函数零点的个数主要方法: (1)利用零点存在定理. (2)借助函数的图象,数形结合. (3)解方程,确定方程实数解的个数. [即时演练] 2.函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:令 f(x)=2x|log0.5x|-1=0, ?1?x 可得|log0.5x|=?2? , ? ? 设 g(x)=|log0.5x|, ?1?x h(x)=?2? ,

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